Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3. Prenez 12 345 : 1+2+3+4+5 = 15, et 15 est divisible par 3, donc 12 345 l’est aussi (12 345 ÷ 3 = 4 115). C’est un test à faire de tête, sans poser aucune division.
Le critère, étape par étape
La règle tient en une addition. Elle marche quelle que soit la taille du nombre, et elle peut se répéter si le résultat obtenu est encore grand.
- 45 : 4+5 = 9, divisible par 3. 45 ÷ 3 = 15. Divisible par 3.
- 987 654 321 : 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45, et 45 est lui-même divisible par 3 (4+5=9). Divisible par 3.
- 1 234 : 1+2+3+4 = 10, qui n’est pas un multiple de 3. Pas divisible par 3.
Quand la somme obtenue est encore un nombre à plusieurs chiffres, rien n’empêche de refaire l’addition sur ce résultat, jusqu’à obtenir un seul chiffre : pour 987 654 321, la première somme donne 45, et 4+5 donne 9, qui confirme la même conclusion.
Pourquoi ce critère fonctionne
Ce n’est pas un hasard arithmétique : il découle de la façon dont on écrit les nombres en base 10. Chaque chiffre est en réalité multiplié par une puissance de 10 selon sa position (unités, dizaines, centaines…). Or 10 laisse toujours un reste de 1 dans une division par 3 (10 = 3 × 3 + 1), et il en va de même pour 100, pour 1 000, et pour toutes les puissances de 10 suivantes.
Prenons 234 = 2×100 + 3×10 + 4. Puisque 100, 10 et 1 laissent chacun un reste de 1 dans la division par 3, le reste de 234 dans cette division est le même que celui de 2+3+4, soit 9, qui est un multiple de 3. C’est ce mécanisme, valable pour n’importe quel nombre, qui permet de remplacer un nombre par la somme de ses chiffres sans changer la réponse à la question de sa divisibilité par 3.
Le critère par 9, qui suit exactement la même logique
Le même raisonnement s’applique tel quel à la divisibilité par 9, puisque 10 laisse aussi un reste de 1 dans une division par 9 : un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Seul le diviseur change, la méthode est identique.
| Nombre | Somme des chiffres | Divisible par 3 | Divisible par 9 |
|---|---|---|---|
| 12 345 | 15 | Oui | Non |
| 729 | 18 | Oui | Oui |
| 1 234 | 10 | Non | Non |
729 le montre bien : sa somme de chiffres, 18, est un multiple à la fois de 3 et de 9, donc 729 est divisible par les deux. 12 345, en revanche, a une somme de 15, multiple de 3 mais pas de 9 : il est divisible par 3, mais pas par 9. Tout nombre divisible par 9 l’est automatiquement par 3, puisque 9 est lui-même un multiple de 3, mais l’inverse n’est pas vrai.
Les erreurs classiques à éviter
- Confondre le critère par 3 et celui par 9. Une somme de chiffres multiple de 3 ne suffit pas pour conclure que le nombre est aussi multiple de 9 : il faut que la somme soit elle-même un multiple de 9.
- Appliquer une règle sur les derniers chiffres, comme pour 4. La divisibilité par 3 dépend de tous les chiffres du nombre, pas seulement des derniers. C’est l’inverse du critère de divisibilité par 4, qui ignore tout sauf les deux derniers chiffres : les deux mécaniques ne sont pas interchangeables, l’une additionne l’intégralité des chiffres parce que 10 laisse un reste non nul dans une division par 3, l’autre isole les deux derniers chiffres parce que 100 est un multiple exact de 4.
- Arrêter l’addition trop tôt. Sur un très grand nombre, la première somme peut encore compter plusieurs chiffres : il suffit de recommencer l’addition sur ce résultat, la conclusion reste identique à chaque étape.
- Se tromper dans l’addition elle-même. C’est la source d’erreur la plus fréquente en pratique : regrouper les chiffres par paires pour vérifier son calcul (par exemple 9+8, 7+6, 5+4, 3+2, puis 1, pour 987654321) limite le risque par rapport à une addition chiffre par chiffre sans relecture.
Cette logique, vérifier un critère précis avant de conclure plutôt que de se fier à une impression, vaut aussi pour d’autres propriétés mathématiques que l’on croit parfois pouvoir deviner à l’œil, comme reconnaître un triangle rectangle ou constater que deux droites sont parallèles.