Pour savoir si un nombre est divisible par 4, il suffit de regarder ses deux derniers chiffres. Formez le nombre à deux chiffres qu’ils composent : s’il est divisible par 4, le nombre entier l’est aussi, quelle que soit sa longueur. Prenez 3 481 348 : les deux derniers chiffres sont 48, et 48 divisé par 4 donne 12 sans reste, donc 3 481 348 est divisible par 4. Aucun besoin de poser la division du grand nombre.
Le critère de divisibilité par 4, et comment l’appliquer
La règle tient en une phrase : un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est lui-même divisible par 4. Tout ce qui précède les dizaines, centaines, milliers ou plus, n’entre pas en jeu.
Des exemples qui couvrent les cas courants
- 348 : les deux derniers chiffres sont 48. 48 ÷ 4 = 12. Divisible par 4.
- 2024 : les deux derniers chiffres sont 24. 24 ÷ 4 = 6. Divisible par 4 (et c’est d’ailleurs pour ça que 2024 a été une année bissextile).
- 1234 : les deux derniers chiffres sont 34. 34 n’est pas un multiple de 4 (34 ÷ 4 = 8,5). Pas divisible par 4.
- 7 891 348 : peu importe la longueur du nombre, seuls les deux derniers chiffres comptent. 48 ÷ 4 = 12, donc 7 891 348 est divisible par 4.
Deux cas qui piègent
Deux situations font systématiquement trébucher.
- Un nombre qui se termine par un zéro n’est pas automatiquement divisible par 4. Prenez 130 : les deux derniers chiffres sont 30, et 30 n’est pas un multiple de 4 (30 ÷ 4 = 7,5). 130 n’est donc pas divisible par 4, alors que beaucoup s’arrêtent au « ça finit par zéro, donc ça doit marcher ».
- Un nombre pair n’est pas forcément divisible par 4. Prenez 502 : il est pair, mais ses deux derniers chiffres forment 02, soit 2, qui n’est pas un multiple de 4. 502 n’est donc pas divisible par 4, seulement par 2.
Pourquoi ce critère fonctionne : la démonstration
Ce n’est pas une astuce arbitraire, elle découle directement de la façon dont on écrit les nombres en base 10. N’importe quel nombre entier peut s’écrire comme la somme d’un multiple de 100 et d’un reste compris entre 0 et 99, qui n’est rien d’autre que le nombre formé par ses deux derniers chiffres.
Prenons 1 548. On peut l’écrire 1 548 = 1 500 + 48, soit 15 x 100 + 48. Or 100 est lui-même un multiple de 4, puisque 100 = 4 x 25. Donc 15 x 100 est un multiple de 4, quel que soit 15. Il ne reste que le terme 48 pour décider si l’ensemble est divisible par 4 ou non. Comme 48 = 4 x 12, l’addition entière 1 500 + 48 est divisible par 4.
C’est ce raisonnement, et lui seul, qui justifie de ne regarder que les deux derniers chiffres : tout ce qui se trouve à partir des centaines est automatiquement un multiple de 4, donc il n’influence jamais le reste de la division par 4. Seul ce qui reste, les dizaines et les unités, peut faire pencher la balance.
Le même raisonnement donne les critères par 2 et par 8
Une fois ce principe compris, deux autres critères se déduisent sans effort, avec exactement la même logique appliquée à une autre puissance de 10.
| Diviseur | Puissance de 10 concernée | Ce qu’il faut regarder | Exemple |
|---|---|---|---|
| 2 | 10 = 2 x 5 | Le dernier chiffre seul | 236 finit par 6 : divisible par 2 |
| 4 | 100 = 4 x 25 | Les deux derniers chiffres | 1348 : 48 ÷ 4 = 12, divisible par 4 |
| 8 | 1000 = 8 x 125 | Les trois derniers chiffres | 3416 : 416 ÷ 8 = 52, divisible par 8 |
Pour le critère par 2, 10 est déjà un multiple de 2, donc dès la première puissance de 10, tout ce qui précède le dernier chiffre disparaît : c’est pour ça qu’un seul chiffre suffit à trancher la parité. Pour le critère par 8, il faut attendre 1000, qui vaut 8 x 125, pour obtenir le premier multiple de 8 dans la suite des puissances de 10 : c’est pour ça qu’il faut regarder trois chiffres, ni plus ni moins. Vérification sur 3416 : les trois derniers chiffres forment 416, et 416 ÷ 8 = 52 exactement, donc 3416 est divisible par 8.
L’usage que tout le monde connaît sans faire le lien : les années bissextiles
Le test le plus répandu de la divisibilité par 4, sans que la plupart des gens l’identifient comme tel, c’est justement celui-là : une année est bissextile si son millésime est divisible par 4, avec une exception à connaître.
- Divisible par 4, pas par 100L’année est bissextile. C’est le cas de 2024 ou de 2028 : 24 et 28 sont tous deux des multiples de 4.
- Divisible par 100, pas par 400L’année n’est pas bissextile, malgré la divisibilité par 4. C’est l’exception séculaire : 1900 était divisible par 4 (00 divisible par 4), mais comme elle est aussi divisible par 100 sans l’être par 400, elle n’a pas été bissextile.
- Divisible par 400L’année redevient bissextile. C’est le cas de 2000, ou du prochain exemple, 2400.
| Année | Divisible par 4 | Divisible par 100 | Divisible par 400 | Bissextile |
|---|---|---|---|---|
| 2023 | Non | Non | Non | Non |
| 2024 | Oui | Non | Non | Oui |
| 1900 | Oui | Oui | Non | Non |
| 2000 | Oui | Oui | Oui | Oui |
| 2100 | Oui | Oui | Non | Non |
Une année dure environ 365,2422 jours, pas 365,25 tout rond. Ajouter un jour tous les 4 ans (règle simple) compense trop et fait dériver le calendrier d’environ trois jours tous les 400 ans. En retirant le jour bissextile trois fois sur quatre siècles (1700, 1800, 1900, mais pas 2000), le calendrier grégorien corrige cette dérive sans avoir besoin de retoucher la règle des 4 ans elle-même.
Les erreurs classiques à éviter
Trois confusions reviennent le plus souvent quand on applique ce critère.
- Croire qu’un nombre pair est divisible par 4. C’est faux dans la moitié des cas : parmi les nombres pairs, un sur deux seulement est divisible par 4 (ceux dont les deux derniers chiffres forment un multiple de 4), l’autre moitié ne l’est pas, comme 502 ou 130 vus plus haut. Être divisible par 4 est une condition plus stricte qu’être simplement pair.
- Appliquer la somme des chiffres, comme pour le critère par 3. Le critère de la divisibilité par 3 additionne tous les chiffres du nombre parce que 10 laisse un reste de 1 dans la division par 3, à chaque position. Pour 4, ce raisonnement ne tient pas : 10 laisse un reste de 2 dans la division par 4, et ce reste change à chaque puissance de 10 (10 laisse 2, 100 laisse 0, 1000 laisse 0). La somme des chiffres d’un nombre divisible par 4, comme 1234 dont la somme fait 10, ne dit strictement rien sur sa divisibilité par 4. C’est pour cette raison que le critère de divisibilité par 3 et celui par 4 reposent sur deux mécaniques différentes, l’une sur la somme de tous les chiffres, l’autre sur la valeur des deux derniers seulement, et qu’on ne peut pas transposer l’un à l’autre.
- Diviser mentalement les deux derniers chiffres au lieu de vérifier proprement. Sur un nombre comme 78, l’automatisme de la table de 4 (4, 8, 12, 16… jusqu’à 76, 80) évite l’erreur de calcul : 78 n’y figure pas, donc il n’est pas divisible par 4. Passer par la moitié, puis par la moitié de la moitié, aide aussi : un nombre est divisible par 4 s’il est divisible par 2 deux fois de suite. 78 ÷ 2 = 39, qui est impair, donc 78 n’est pas divisible par 4, sans même avoir besoin de connaître la table.
Ce dernier point donne d’ailleurs une deuxième façon de vérifier le critère, utile en tête sans poser de calcul : diviser par 2, regarder si le résultat est encore pair. 348 ÷ 2 = 174, qui est pair, donc 348 est divisible par 4. 1234 ÷ 2 = 617, qui est impair, donc 1234 ne l’est pas. Les deux méthodes, celle des deux derniers chiffres et celle de la double division par 2, donnent toujours la même réponse : elles reposent sur le même fait, qu’un multiple de 4 est un multiple de 2 pris deux fois.