En géométrie, savoir si deux droites sont parallèles peut être essentiel pour résoudre de nombreux problèmes. Dans cet article, nous allons étudier les différentes méthodes permettant d’établir la relation entre deux droites et comment les utiliser pour déterminer si elles sont parallèles.
Droites et équations
Les coordonnées cartésiennes et les axes
Dans le plan cartésien, chaque point est représenté par un couple de valeurs (x, y) appelées coordonnées. Le plan est divisé en deux parties par deux droites appelées axes. L’abscisse correspond à l’axe des x, tandis que l’ordonnée correspond à l’axe des y. Les deux axes sont perpendiculaires et se croisent à un point central appelé l’origine (0, 0). La position relative de deux points ou de deux droites par rapport aux axes nous donne des informations sur leur parallélisme potentiel.
L’équation d’une droite
Une droite dans le plan peut être définie par une équation de la forme ax + by = c, où a, b et c sont des coefficients. Cette équation peut être réécrite sous différentes formes :
- Sous forme réduite : y = mx + p, avec m la pente de la droite et p l’ordonnée à l’origine;
- Sous forme générale : ax + by = c;
- Sous forme normale : x/cos(α) + y/sin(α) = 1, où α est l’angle formé entre la droite et l’axe des abscisses.
Le coefficient m dans la forme réduite de l’équation fournit une indication sur le parallélisme de deux droites.
Les critères pour déterminer si deux droites sont parallèles
Même coefficient directeur
Un premier critère pour établir si deux droites sont parallèles consiste à comparer leur pente (ou coefficient directeur). Si elles ont la même pente, alors les droites sont parallèles. Par exemple, considérons les droites d’équations y = 2x + 1 et y = 2x – 3. Dans les deux cas, nous avons m = 2, donc ces deux droites sont bien parallèles.
Aucun point d’intersection
Deux droites qui ne se croisent pas sont nécessairement parallèles. Pour vérifier cela, il faut s’assurer qu’il n’y a pas de solution au système d’équations formé par les deux droites. Si le système n’a pas de solution, cela signifie que les droites ne se croisent pas et sont donc parallèles. Par exemple, prenons les droites d’équations y = x + 2 et y = x + 5. Le système formé par ces deux équations a pour seul inconnue x, mais les solutions proposées pour y diffèrent de 3 unités, il n’y a donc pas de solution et les droites ne se croisent pas. Donc, elles sont parallèles
Produit scalaire des vecteurs directeurs
Si nous connaissons les vecteurs directeurs des deux droites, nous pouvons utiliser le produit scalaire pour établir leur parallélisme. Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est donné par : u⋅v = ||u|| × ||v|| × cos(θ), où θ est l’angle entre les deux vecteurs. Si les droites sont parallèles, alors leurs vecteurs directeurs ont un même sens ou un sens opposé, ce qui signifie que l’angle entre eux sera soit 0°, soit 180° et le produit scalaire sera égal au produit des normes des vecteurs.
Exemples d’applications liées aux droites parallèles
Calcul de longueurs dans un triangle
Dans un triangle IJK, si une droite perpendiculaire à un côté est tracée depuis un sommet jusqu’à ce côté (disons du sommet K à la droite [IJ]), on obtient alors deux triangles rectangles ayant une droite commune. En comparant leur pente, nous pouvons déduire la longueur manquante en utilisant le rapport des côtés homologues.
Droites d’équation ax + by = c
Pour déterminer si deux droites d’équations ax + by = c et dx + ey = f sont parallèles, il suffit de vérifier si le rapport entre les coefficients a, b et d, e est égal :
- a/d = b/e
Si cette condition est satisfaite, alors les droites sont parallèles.
Application en géométrie analytique
La notion de droites parallèles joue un rôle important dans la résolution de problèmes en géométrie analytique. Par exemple, considérons deux segments de droite AB et CD avec pour coordonnées A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) et D(x4,y4). Une fois les équations des deux droites déterminées, il suffit d’utiliser les critères expliqués précédemment pour déterminer si elles sont parallèles ou non.
