Deux droites sont parallèles si elles ont la même direction, qu’elles se coupent ou non n’étant qu’une conséquence de cette direction, pas le critère lui-même. Selon les données dont on dispose, la méthode change : une sécante et des angles, un triangle et le théorème de Thalès, une équation et un coefficient directeur, ou des vecteurs directeurs. Dans l’espace, un piège classique disparaît d’ailleurs de lui-même : deux droites qui ne se coupent pas n’y sont pas forcément parallèles.
Avec une sécante : les angles
Quand une droite (une sécante) coupe deux autres droites, elle forme des angles à chaque point d’intersection. Deux couples d’angles sont à comparer :
- Les angles correspondants : situés du même côté de la sécante et de part et d’autre de chaque droite coupée, à la même position relative. S’ils sont égaux, les deux droites sont parallèles.
- Les angles alternes-internes : situés de part et d’autre de la sécante, entre les deux droites coupées. S’ils sont égaux, les deux droites sont parallèles.
Pourquoi ce critère fonctionne : une droite qui coupe deux droites parallèles avec le même angle ne fait, en réalité, que translater la même direction d’un point à l’autre de la sécante. Une translation ne change ni la direction ni l’angle formé avec une droite fixe, donc l’angle que la sécante forme avec la première droite est nécessairement identique à celui qu’elle forme avec la seconde si et seulement si les deux droites partagent la même direction. L’égalité des angles alternes-internes s’explique par une symétrie centrale autour du milieu du segment de la sécante compris entre les deux droites, qui échange les deux droites en conservant les angles.
Dans un triangle : la réciproque de Thalès
Si deux points M et N sont placés respectivement sur les côtés [AB] et [AC] d’un triangle ABC, et que le rapport AM/AB est égal au rapport AN/AC, alors la droite (MN) est parallèle à la droite (BC). C’est la réciproque du théorème de Thalès.
Exemple vérifié : dans un triangle ABC avec AB = 6 et AC = 9, on place M sur [AB] avec AM = 2 et N sur [AC] avec AN = 3. On a AM/AB = 2/6 = 1/3 et AN/AC = 3/9 = 1/3 : les deux rapports sont égaux, donc (MN) est parallèle à (BC). En coordonnées, avec A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(0 ; 9), cela place M(2 ; 0) et N(0 ; 3). Le vecteur MN vaut (−2 ; 3) et le vecteur BC vaut (−6 ; 9), soit exactement trois fois MN : les deux vecteurs sont bien colinéaires, ce qui confirme le parallélisme par un second calcul indépendant.
Pourquoi ce critère fonctionne : des rapports de longueurs égaux à partir d’un même sommet impliquent que les deux petits triangles formés (AMN et ABC) sont dans une configuration d’agrandissement ou de réduction l’un de l’autre, avec le même angle en A. Les angles correspondants qu’ils forment avec les côtés sont donc égaux, ce qui ramène au critère des angles vu plus haut. Le triangle de départ n’a pas besoin d’être rectangle pour que Thalès s’applique ; savoir si un triangle est rectangle répond à une question de géométrie voisine, mais distincte.
En repère : le coefficient directeur
Dans un repère, une droite non verticale s’écrit sous la forme y = mx + p, où m est le coefficient directeur. Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur m, à condition qu’elles ne soient pas confondues (p différent).
Exemple : les droites y = 2x + 1 et y = 2x − 3 ont le même coefficient directeur (m = 2) et des ordonnées à l’origine différentes (1 et −3) : elles sont parallèles et distinctes.
Pour une droite donnée sous forme générale ax + by = c et une autre dx + ey = f, le critère équivalent est ae − bd = 0 (ce qui revient à a/d = b/e quand d et e sont non nuls). Ce calcul reste valable même pour une droite verticale, où b ou e vaut 0, cas où le coefficient directeur n’existe pas.
Exemple vérifié : 2x + 3y = 5 et 4x + 6y = 7 donnent a = 2, b = 3, d = 4, e = 6, donc ae − bd = 2×6 − 3×4 = 12 − 12 = 0 : les droites sont parallèles. Comme 5/7 est différent de 2/4, ce ne sont pas la même droite.
Pourquoi ce critère fonctionne : le coefficient directeur mesure la variation de y pour une variation de x donnée, c’est-à-dire l’inclinaison de la droite par rapport à l’axe des abscisses. Deux droites inclinées de façon identique par rapport au même axe ont, par construction, la même direction.
Avec des vecteurs directeurs
Une droite est aussi caractérisée par un vecteur directeur, un vecteur non nul porté par cette droite. Deux droites de vecteurs directeurs u(x ; y) et v(x’ ; y’) sont parallèles si et seulement si ces deux vecteurs sont colinéaires, ce qui se vérifie par le calcul xy’ − yx’ = 0 (le déterminant des deux vecteurs).
Exemple vérifié : u(2 ; 3) et v(4 ; 6) donnent 2×6 − 3×4 = 0 : colinéaires, droites parallèles. À l’inverse, u(2 ; 3) et v(4 ; 7) donnent 2×7 − 3×4 = 2, différent de 0 : les vecteurs ne sont pas colinéaires, les droites ne sont pas parallèles.
Pourquoi ce critère fonctionne : deux vecteurs colinéaires pointent selon la même direction, à un facteur d’échelle ou un sens près. Or la direction d’une droite est précisément ce que porte son vecteur directeur, donc deux droites partagent la même direction exactement quand leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. C’est la méthode qui se généralise le mieux, y compris à l’espace.
Dans l’espace : l’absence d’intersection ne suffit plus
Dans le plan, deux droites qui ne se coupent pas sont nécessairement parallèles : il n’y a pas d’autre possibilité. Dans l’espace, ce raisonnement ne tient plus. Deux droites peuvent très bien ne jamais se croiser sans être parallèles : on les appelle des droites non coplanaires, ou droites gauches.
Exemple vérifié : la droite D1 passe par A(0 ; 0 ; 0) avec pour vecteur directeur u(1 ; 0 ; 0) (c’est l’axe des x). La droite D2 passe par B(0 ; 1 ; 1) avec pour vecteur directeur v(0 ; 1 ; 0). Un point de D1 s’écrit (t ; 0 ; 0), un point de D2 s’écrit (0 ; 1+s ; 1). Pour qu’ils coïncident, il faudrait que la troisième coordonnée soit égale, or elle vaut 0 sur D1 et 1 sur D2 en permanence : les deux droites ne se coupent jamais. Pourtant, u et v ne sont pas colinéaires, donc D1 et D2 ne sont pas parallèles non plus : ce sont deux droites gauches.
Dans l’espace, le seul critère qui reste valable est celui des vecteurs directeurs colinéaires (ou l’égalité des coefficients directeurs quand les droites sont projetées dans un même plan de coordonnées, avec les mêmes précautions) : deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, qu’elles se coupent ou non n’entrant plus en compte.
L’erreur classique : conclure au parallélisme sur une figure
Sur un dessin à main levée ou même à l’échelle, deux droites qui ne semblent pas se croiser dans le cadre visible peuvent très bien se couper plus loin, hors de la feuille : un écart d’angle même minime finit toujours par produire une intersection si on prolonge suffisamment les droites, sauf si cet écart est nul. Une figure ne prouve donc jamais un parallélisme, elle peut tout au plus le suggérer ; seul un des critères ci-dessus (angles, Thalès, coefficient directeur ou vecteurs) l’établit avec certitude. Dans l’espace, l’erreur inverse se rencontre aussi : conclure que deux droites sont parallèles simplement parce qu’elles ne se coupent pas, alors qu’elles peuvent être gauches. Dans les deux cas, la vérification passe par le calcul, jamais par l’observation seule.