Un triangle est rectangle si l’un de ses angles mesure exactement 90°. Pour le prouver sans rapporteur, la méthode dépend de ce que vous connaissez déjà : avec les trois longueurs des côtés, utilisez la réciproque du théorème de Pythagore ; avec des coordonnées, le produit scalaire de deux vecteurs ; avec un cercle circonscrit, la propriété du diamètre ou de la médiane ; avec des angles mesurés, la trigonométrie. Dans tous les cas, la première étape est la même : repérer le plus grand côté, seul candidat possible à l’hypoténuse, avant tout calcul.
Toujours commencer par repérer le plus grand côté
Avant toute méthode fondée sur les longueurs, une seule règle compte : si le triangle est rectangle, l’angle droit se trouve forcément face au plus long côté, qui est alors l’hypoténuse. Tester la relation de Pythagore avec un autre côté à la place de l’hypoténuse donne systématiquement un résultat faux, dans un sens comme dans l’autre. C’est l’erreur la plus fréquente, avant même une erreur de calcul, et elle se corrige en une seconde : mesurez ou comparez les trois longueurs, et isolez la plus grande avant d’écrire quoi que ce soit.
Cette logique, un critère précis qui remplace toute mesure approximative, se retrouve ailleurs en mathématiques : c’est la même démarche qui permet de savoir si un nombre est divisible par 3 ou de savoir si un nombre est divisible par 4, sans effectuer la moindre division.
La réciproque du théorème de Pythagore
Énoncé. Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle, et l’angle droit est situé face à ce plus grand côté.
Démarche. Identifiez le plus grand côté, appelez-le c. Calculez a² + b² d’un côté et c² de l’autre. Si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle.
Exemple. Un triangle ABC a pour côtés AB = 9 cm, BC = 12 cm et AC = 15 cm. Le plus grand côté est AC, donc c = 15.
- Calculez les carrésAB² = 81, BC² = 144, AC² = 225.
- Additionnez les deux plus petitsAB² + BC² = 81 + 144 = 225.
- Comparez au carré du plus grand225 = 225 : l’égalité est vérifiée.
- ConcluezLe triangle ABC est rectangle en B, le sommet opposé au plus grand côté AC.
La contraposée : prouver qu’un triangle n’est pas rectangle
Énoncé. Si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n’est pas rectangle. C’est la contraposée de la réciproque : elle sert uniquement à écarter l’hypothèse d’un angle droit, jamais à en démontrer un autre.
Exemple. Un triangle DEF a pour côtés DE = 6 cm, EF = 7 cm et DF = 9 cm. Le plus grand côté est DF.
- DE² + EF² = 36 + 49 = 85 ;
- DF² = 81 ;
- 85 est différent de 81, donc le triangle DEF n’est pas rectangle.
Elle ne permet pas de savoir si le triangle est obtus ou aigu, seulement qu’il n’est pas rectangle. Pour aller plus loin, il faudrait comparer le signe de la différence entre le carré du plus grand côté et la somme des deux autres, ce qui sort du cadre de cette méthode.
Le triangle inscrit dans un cercle : la propriété du diamètre
Énoncé. Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l’un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle, et l’angle droit se trouve au sommet opposé à ce diamètre.
Exemple. Dans un repère, un cercle de centre O(0 ; 0) et de rayon 5 passe par A(−5 ; 0) et B(5 ; 0) : le segment AB, de longueur 10, est un diamètre. Le point C(3 ; 4) appartient au même cercle, puisque 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
D’après la propriété du diamètre, le triangle ABC est donc rectangle en C. On peut le vérifier directement : CA² = (−5 − 3)² + (0 − 4)² = 64 + 16 = 80, et CB² = (5 − 3)² + (0 − 4)² = 4 + 16 = 20. Or CA² + CB² = 80 + 20 = 100 = AB², ce qui confirme, par la réciproque de Pythagore, que l’angle droit est bien en C.
La médiane issue du sommet de l’angle droit
Énoncé. Si, dans un triangle, la médiane issue d’un sommet a pour longueur la moitié du côté opposé, alors le triangle est rectangle en ce sommet.
Exemple. Reprenons le triangle ABC précédent. Le milieu de AB est le point O(0 ; 0), qui est aussi le centre du cercle. La médiane issue de C est donc le segment CO, de longueur 5, puisque CO² = 3² + 4² = 25. Or AB mesure 10, et sa moitié vaut 5. La médiane CO est bien égale à la moitié de AB : le triangle ABC est rectangle en C, ce qui confirme le résultat obtenu par la propriété du diamètre. Les deux méthodes sont d’ailleurs la même propriété, lue de deux façons différentes.
Le produit scalaire nul, au niveau lycée
Énoncé. Deux vecteurs sont orthogonaux, c’est-à-dire qu’ils forment un angle droit, si et seulement si leur produit scalaire est nul. Pour un triangle ABC, il est rectangle en A si les vecteurs AB et AC ont un produit scalaire égal à zéro.
Démarche. Calculez les coordonnées des deux vecteurs partant du sommet à tester, puis leur produit scalaire avec la formule x₁x₂ + y₁y₂. Un résultat nul confirme l’angle droit.
Exemple. Soit A(0 ; 0), B(4 ; 2) et C(−1 ; 2). Le vecteur AB a pour coordonnées (4 ; 2), et le vecteur AC pour coordonnées (−1 ; 2). Leur produit scalaire vaut AB · AC = 4 × (−1) + 2 × 2 = −4 + 4 = 0. Le triangle ABC est donc rectangle en A. On peut le recouper avec Pythagore : AB² = 20, AC² = 5, et BC² = (4 − (−1))² + (2 − 2)² = 25. AB² + AC² = 20 + 5 = 25 = BC², ce qui confirme le résultat par une seconde méthode.
Cette approche par coordonnées se rapproche de celle qui sert à vérifier si deux droites sont parallèles, où l’on compare cette fois des vecteurs directeurs plutôt que de tester leur orthogonalité.
La trigonométrie, quand on connaît des angles
Énoncé. Dans un triangle, les trois angles totalisent toujours 180°. Si deux angles mesurés ou calculés totalisent exactement 90°, le troisième vaut 90° par différence, et le triangle est rectangle en ce sommet.
Exemple. Un relevé donne un angle de 35° en A et un angle de 55° en B dans un triangle ABC. L’angle en C vaut alors 180° − 35° − 55° = 90°. Le triangle est rectangle en C.
Quand seules les longueurs sont connues, la loi des cosinus retrouve le même résultat sans passer par la formule de Pythagore : pour un angle Ĉ opposé au côté c, cos(Ĉ) = (a² + b² − c²) / (2ab). Un cosinus nul signifie un angle de 90°. Reprenons le triangle ABC de 9, 12 et 15 cm : cos(Ĉ) = (9² + 12² − 15²) / (2 × 9 × 12) = (81 + 144 − 225) / 216 = 0 / 216 = 0, donc Ĉ = 90°, ce qui confirme le résultat trouvé plus haut avec la réciproque de Pythagore.
L’erreur classique : se tromper d’hypoténuse
La faute la plus fréquente consiste à tester la relation de Pythagore avec le mauvais côté à la place de l’hypoténuse. Reprenons le triangle de 9, 12 et 15 cm, réellement rectangle en B. Si l’on teste par erreur 12 comme s’il s’agissait du plus grand côté : AB² + AC² = 81 + 225 = 306, à comparer à 12² = 144. Les deux nombres sont différents, et on conclurait à tort que ce triangle n’est pas rectangle, alors qu’il l’est bel et bien face au côté de 15 cm.
La seconde confusion classique mélange le théorème direct et sa réciproque. Le théorème direct part d’un triangle déjà connu pour être rectangle et calcule une longueur manquante. La réciproque part de trois longueurs connues et détermine si le triangle est rectangle. Utiliser le théorème direct sans avoir vérifié au préalable que l’angle est droit conduit à un résultat inventé. Dans le triangle DEF de 6, 7 et 9 cm vu plus haut, qui n’est pas rectangle, calculer sqrt(6² + 7²) donne environ 9,22 cm. Ce nombre n’est pas la longueur du troisième côté, qui mesure réellement 9 cm : la différence de 0,22 cm est la trace de l’angle qui n’est pas droit entre les côtés de 6 et 7 cm.
| Ce que vous connaissez | Méthode | Condition à vérifier |
|---|---|---|
| Les trois longueurs des côtés | Réciproque de Pythagore | a² + b² = c², avec c le plus grand côté |
| Trois longueurs, résultat négatif | Contraposée de Pythagore | a² + b² différent de c² |
| Un cercle circonscrit connu | Propriété du diamètre | Un côté est un diamètre du cercle |
| Le milieu du plus grand côté | Propriété de la médiane | La médiane vaut la moitié du côté opposé |
| Des coordonnées dans un repère | Produit scalaire | AB · AC = 0 pour un angle droit en A |
| Deux angles mesurés | Somme des angles ou loi des cosinus | Deux angles totalisent 90°, ou cos = 0 |
Vérifiez toujours avec une seconde méthode
Chacune de ces méthodes suffit seule à conclure, à condition d’avoir vérifié ses conditions d’application, en particulier le choix du plus grand côté. Quand c’est possible, recouper le résultat par une seconde méthode reste la meilleure garantie contre une erreur de calcul isolée : c’est ce qui a été fait plus haut entre la propriété du diamètre et celle de la médiane, ou entre le produit scalaire et Pythagore. Un seul calcul correct suffit à démontrer qu’un triangle est rectangle ; un seul calcul faux suffit à publier une conclusion inversée.